Cum găsiți derivatul lui y = Arcsin ((3x) / 4)?

Răspuns:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Explicaţie:

Va trebui să utilizați regula lanțului. Reamintim că formula pentru aceasta este:

f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x)

Ideea este că mai întâi să luați derivatul funcției ultraperiferice și apoi să vă lucrați în interior.

Înainte de a începe, să identificăm toate funcțiile noastre în această expresie. Noi avem:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # este funcția cea mai îndepărtată, așa că vom începe prin a lua derivatul din asta. Asa de:

# dy / dx = culoare (albastru) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 -

Observați cum păstrăm încă asta # ((3x) / 4) # acolo. Rețineți că, atunci când utilizați regula lanțului, diferențiați-vă din exterior, dar tot vă aflați să păstreze funcțiile interioare atunci când diferențiază cele exterioare.

# (3x) / 4 # este următoarea noastră funcție ultraperiferică, așa că va trebui să etichetăm și derivatul. Asa de:

#color (gri) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 / (3x) / 4) ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) *

Și acesta este sfârșitul porțiunii de calcul la această problemă! Tot ce a mai rămas este de a face o simplificare pentru a ordona această expresie și ajungem la:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2)))

Dacă doriți mai mult ajutor pentru regula despre lanț, vă încurajez să aruncați o privire asupra unora dintre videoclipurile mele pe această temă:

Sper că a ajutat:)

Răspuns:

Dat: #color (albastru) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^

Explicaţie:

Dat:

#color (albastru) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Componența funcțiilor aplică o funcție la rezultatele altui:

Observați că argument a funcției trigonometrice #sin ^ (- 1) ("") # este, de asemenea, o funcție.

Regula de lanț este o regulă pentru diferențiere compoziții de funcții ca cea pe care o avem.

Regula de lanț:

(dy / (dx)) (dy / (du)) * ((du / dx) (sau)

#color (albastru) (d / (dx) f {g (x)} = g 'x

Ne este dat

#color (albastru) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Lăsa, (x) = sin ^ (- 1) (u) "" și "" u = (3x) / 4 #

#color (verde) (Step.1 #

Vom diferenția

# f (x) = sin ^ (- 1) (u) Function.1

folosind rezultat derivat comun:

#color (maro) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt

Folosind rezultatul de mai sus putem diferenția Function.1 mai sus ca

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) Result.1

#color (verde) (Step.2 #

În acest pas, vom diferenția funcția interioară # (3x) / 4 #

# D / (dx) ((3x) / 4) #

Trageți constanta afară

# rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Result.2

#color (verde) (Step.3 #

Vom folosi cele două rezultatele intermediare, Result.1 și Result.2 a inainta, a merge mai departe.

Vom începe cu, #color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^

Înlocuiți-l înapoi #color (maro) (u = ((3x) / 4) #

Atunci, (3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4)

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2)

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

# rArr (3 / anulați 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * anulați 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Prin urmare, răspunsul nostru final poate fi scris ca

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^