Răspuns:
Verificați mai jos pentru a răspunde
Explicaţie:
Pentru # X = 0 # noi avem
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Considerăm o nouă funcție #G (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #X##în## RR #
#G (0) = 0 #, #G '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #X##în## RR #
Ca rezultat # G # este în creștere în # RR #. Astfel, pentru că este în creștere strict # G # este "#1-1#" (unu la unu)
Asa de, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #G (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Trebuie să arătăm asta # X / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (F (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # F # este continuu la # 0, x #
- # F # este diferențiat în # (0, x) #
Conform teoremei de valoare medie există # # X_0#în## (0, x) #
pentru care #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #X##în## RR # asa de
prin diferențierea ambelor părți pe care le obținem
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Functia # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # este ușor de diferențiat. Ca rezultat # F '# este ușor de diferențiat și # F # este de 2 ori diferențiată cu
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (F '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #X##în## RR #
-> # F '# este în creștere # RR # care înseamnă
# # X_0#în## (0, x) # #<=># #0<## X_0 <##X# #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
# X / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
