Care este soluția generală a ecuației diferențiale y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Ecuația caracteristică este:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disc din ecuația quad = 1 - 16 = -15 <0" #

# "deci avem două soluții complexe, ele sunt" #

# z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Deci soluția generală a ecuației omogene este:" #

# A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

(X / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x /

# "Soluția specială pentru ecuația completă este" #

# "y = x", #

# "Acest lucru este ușor de văzut." #

# "Deci, soluția completă este:" #

(x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) # (x) = x +

Răspuns:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)

Explicaţie:

Noi avem:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Sau, alternativ:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Acesta este un al treilea pentru ecuația liniară non-omogenă de diferențiere cu coeficienți constanți. Abordarea standard este de a găsi o soluție, #Y c# a ecuației omogene prin examinarea ecuației auxiliare, care este ecuația polinomială cu coeficienții derivatelor, și apoi găsirea unei soluții particulare independente, # # Y_p al ecuației neomogene.

Rădăcinile ecuației auxiliare determină părți ale soluției, care, dacă este liniar independentă, atunci suprapunerea soluțiilor formează soluția generală completă.

• Rădăcini distincte reale # m = alfa, beta, … # vor produce soluții independente liniar ale formei # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Real rădăcini repetate # M = alpha #, va da o soluție a formei # Y = (Ax + B) e ^ (alphax) # unde polinomul are același grad ca repetarea.
• Rădăcinile complexe (care trebuie să apară ca perechi de conjugate) # M = p + -qi # va produce o pereche de soluții independente liniar ale formei # Y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Soluție particulară

Pentru a găsi o soluție particulară a ecuației non-omogene:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # cu # f (x) = 4 # ….. C

apoi ca #f (x) # este un polinom de grad #0#, am căuta o soluție polinomică de același grad, adică a formei #y = a #

Cu toate acestea, o astfel de soluție există deja în soluția CF și trebuie să ia în considerare o posibilă soluție a formei # Y = ax #, În cazul constantelor #A# se determină prin substituire și comparare directă:

Diferențierea # Y = ax # WRT #X# primim:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Înlocuind aceste rezultate în DE A obținem:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Și astfel formăm soluția Particulară:

# y_p = x #

Soluție generală

Care apoi duce la GS a lui A}

# y (x) = y_c + y_p #

(15) / x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Rețineți această soluție #3# constantele de integrare și #3# soluții lineare independente, prin urmare Teorema Existenței și Unicității suprapunerea lor este Soluția Generală