De ce trebuie să folosim "combinații de n lucruri luate x la un moment dat" când se calculează probabilitățile binomiale?

Răspuns:

Vezi mai jos pe gândurile mele:

Explicaţie:

Forma generală pentru o probabilitate binomică este:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

Întrebarea este: De ce avem nevoie de primul termen, termenul de asociere?

Să facem un exemplu și apoi va veni clar.

Să ne uităm la probabilitatea binomică de a răsturna o monedă de 3 ori. Hai să punem capul # P # și de a nu primi capete # ~ P # (ambii #=1/2)#.

Când vom trece prin procesul de sumare, cei 4 termeni ai sumării vor fi egali cu 1 (în esență, găsim toate rezultatele posibile și astfel probabilitatea tuturor rezultatelor este 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = culoare (roșu) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + culoare (albastru) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Deci, hai să vorbim despre termenul roșu și termenul albastru.

Termenul roșu descrie rezultatele obținerii a 3 cozi. Există doar 1 mod de realizare a acesteia, deci avem o combinație egală cu 1.

Rețineți că ultimul termen, cel care descrie obținerea tuturor capetelor, are de asemenea o combinație care este egală cu 1, deoarece din nou există doar o singură cale de ao realiza.

Termenul albastru descrie rezultatele obținerii a 2 cozi și 1 cap. Există 3 moduri care se pot întâmpla: TTH, THT, HTT. Și deci avem o combinație egală cu 3.

Rețineți că cel de-al treilea termen descrie obținerea a 1 coadă și 2 capete și din nou există 3 moduri de a realiza acest lucru și astfel combinația este egală cu 3.

De fapt, în orice distribuție binomială, trebuie să găsim probabilitatea unui singur eveniment, cum ar fi probabilitatea de a obține 2 capete și 1 cozile, și apoi să-l înmulțim cu numărul de moduri în care poate fi atins. Deoarece nu ne interesează ordinea în care sunt obținute rezultatele, folosim o formulă de combinație (și nu, să spunem, o formulă de permutare).