Utilizați a) și b) pentru a dovedi hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Din tot ceea ce spui acolo, tot ceea ce se pare că ar trebui să facem este să arătăm asta #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Se pare că orice loc de unde ai această întrebare este confuz cu privire la definiția lui # # HatT_L.

Vom sfârși prin a demonstra că folosim

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

dă

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

și nu #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Dacă vrem ca totul să fie consecvent, atunci dacă #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, ar trebui să fie așa # hatD, hatx = bb (-1) #. Am rezolvat problema și am adresat-o deja.

Din partea 1, am arătat că pentru această definiție (că #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

De cand #f (x_0 - L) # este un eigenstate de # # HatT_L, forma imediată care vine în minte este un operator exponențial # E ^ (LhatD) #. Intelegem asta #hatD = + ihatp_x // ℏ #, și vom arăta că este adevărat.

Reamintim că, în dovada prezentată în partea 1, am scris:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

și acolo ar trebui să o folosim. Tot ce trebuie să facem este Taylor se extinde operatorul exponențial și arată că dovezile de mai sus rămân în continuare.

Acest lucru este prezentat, de asemenea, în detalii detaliate aici. Am extins-o pentru a fi mai amănunțită …

(n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = suma_ (n = 0) hatD) ^ n #

Dă-i asta # L # este o constantă, putem să o facem din comutator. # # Hatx poate intra, fără a fi dependent de index. Prin urmare:

# hatx, e ^ (LhatD) = suma_ (n = 0) ^ (oo) {1 /

Acum, am propus asta #hatD = ihatp_x // ℏ #, și asta ar avea sens deoarece știm că:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx)

# = anulați (-iℏx (df) / (dx) + ixx (df) / (dx)) +

astfel încât # hatx, hatp_x = i #. Ar însemna că atâta timp cât #hatT_L = e ^ (LhatD) #, putem obține în sfârșit o definiție consecventă în ambele părți ale problemei și obțineți:

#color (albastru) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = culoare (albastru) (1) #

Din aceasta, vom extinde comutatorul:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = suma_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) } #

# = suma_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n

Acum știm # hatx, hatp_x #, dar nu neapărat # hatx, hatp_x ^ n #. Te poți convinge

(dx ^ n) (xx (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^) #

și asta

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

= ((i-j) d / (dx) ^ n = (-i)

astfel încât:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

= (c) (x) (x) (x) (x) (x)

(d ^ ^ n) / (dx ^ n) - (-i) n (x) f) / (dx ^ (n-1))) #

(d ^ nn)) - n (d) (n-1) - - f) / (dx ^ (n-1))} #

(n-1) (- i) (- i) (- n (d ^ (n-1)

(n-1)) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)

Noi recunoaștem asta (n-1) = (-i ^) ^ (n-1) (d ^ (n-1). Prin urmare,

# hatx, hatp_x ^ n = i ^ nhatp_x ^ (n-1) #, cu condiția #n> = 1 #.

Din aceasta găsim:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ) ^ n} #

# = suma_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^

unde dacă evaluezi #n = 0 # pe termen, ar trebui să vezi că e zero, așa că am omis. Continuând, avem:

(n) (n) (1) (n) (1)

(1) (1) (n = 1) (1) (1) ((i)) #

Aici încercăm pur și simplu să facem din nou acest aspect ca și funcția exponențială.

= (i-1) / ((n-1) l) / ()

(termeni de grup)

# = -L suma_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-

(evaluați exteriorul)

# = -L overbrace (suma_ (n = 0) ^ (oo) (ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)

(dacă # N # începe de la zero, # (N-1) #termenul devine # N #te termen.)

Ca urmare, vom obține în cele din urmă:

# => culoare (albastru) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ)

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = culoare (albastru) (- LhatT_L) #

Și ne întoarcem din nou la comutatorul original, și anume

# hatx, hatT_L = -LhatT_L culoare (albastru) (sqrt "") #

În cele din urmă, să arătăm asta # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = suma_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD

= (sumă (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD !)) #

Scriind acest lucru în mod explicit, putem vedea că funcționează:

# = culoare (albastru) (hatT_L "," hatD) = (LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1) +… #

# ((LhatD) ^ 0) / (0) hatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0) 1) / (1) +… #

# = (LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1), hatD +… #

# = L ^ 0 / (0) (hatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1) (hatD) ^ (1), hatD +… #

# = culoare (albastru) (suma_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD)

și de atunci # # HatD merge mereu cu el însuși, # hatD ^ n, hatD = 0 # prin urmare,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (albastru) (sqrt "") #