Ce este ortocentrul unui triunghi cu vârfuri la O (0,0), P (a, b) și Q (c, d) #?

Răspuns:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c)

Explicaţie:

Am generalizat această întrebare veche, mai degrabă decât să cer una nouă. Am făcut acest lucru înainte pentru o întrebare circumcenter și nu sa întâmplat nimic rău, așa că am continuat seria.

Ca și înainte, am pus un vârf la origine pentru a încerca să păstrez algebra tractabilă. Un triunghi arbitrar este ușor tradus și rezultatul ușor tradus înapoi.

Orthocenterul este intersecția altitudinilor unui triunghi. Existența sa se bazează pe teorema că altitudinile unui triunghi se intersectează într-un punct. Spunem că cele trei altitudini sunt concomitent.

Să demonstrăm că altitudinile triunghiului OPQ sunt concomitente.

Vectorul de direcție al OP side este # P-O = P = (a, b), # care este doar un mod fantezist de a spune panta este # B / a # (dar vectorul de direcție funcționează și când # A = 0 #). Obținem vectorul de direcție al perpendicularului schimbând coordonatele și negând unul, aici # (B, -a). # Perpendicular se confirmă prin produsul zero dot:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Ecuația parametrică a altitudinii de la OP la Q este astfel:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, adevărat # T #

Altitudinea de la OQ la P este similară

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # adevărat # U #

Vectorul de direcție al PQ este # Q-P = (c-a, d-b) #. Perpendicularul prin origine, adică altitudinea de la PQ, este astfel

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # adevărat # V #

Să ne uităm la întâlnirea dintre altitudinile de la OP și PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c)

Acestea sunt două ecuații în două necunoscute, # T # și # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Vom multiplica primul cu #A# iar al doilea prin # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Adăugarea, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -

#v = {ac + bd} / {ad-bc} #

Felul răcit cu produsul punctat în numărător și produsul încrucișat în numitor.

Întâlnirea este presupusul orthocenter #(X y)#:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc}

Să găsim îndeplinirea altitudinilor de la OQ și PQ următor. Prin simetrie putem schimba doar #A# cu # C # și # B # cu # D #. Vom suna rezultatul #(X y').#

(b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c)

Avem aceste două intersecții sunt aceleași, # (x ', y') = (x, y), # așa că am dovedit că altitudinile sunt concomitente. #quad sqrt #

Am justificat denumirea intersecției comune orthocenter, și ne-am găsit coordonatele.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c)