Cea mai mare parte a unui triunghi drept este o ^ 2 + b ^ 2 iar cealaltă parte este 2ab. Ce condiție va face ca partea a treia să fie cea mai mică parte?

Răspuns:

Pentru ca partea a treia să fie cea mai scurtă, avem nevoie # (1 + sqrt2) | b |> ABSA> absb # (și asta #A# și # B # au același semn).

Explicaţie:

Partea cea mai lungă a unui triunghi drept este întotdeauna hypotenuse. Deci știm că lungimea hypotenuse este # A ^ 2 + b ^ 2 #

Lansați lungimea părții necunoscute # C. # Apoi, din teorema lui Pitagora, știm

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#color (alb) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#color (alb) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#color (alb) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#color (alb) c = a ^ 2-b ^ 2 #

De asemenea, solicităm ca toate lungimile laterale să fie pozitive, deci

# A ^ 2 + b ^ 2> 0 #

# => a! = 0 sau b! = 0 #

# 2ab> 0 #

# => a, b> 0 sau a, b <0 #

# C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

# <=> A ^ 2> b ^ 2 #

# <=> ABSA> absb #

Acum, pentru orice triunghi, partea cea mai lungă trebuie sa să fie mai scurtă decât sumă de celelalte două părți. Deci avem:

#color (alb) (=>) 2ab + "" c culoare (alb) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab culoare (alb) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

(a <b>, dacă b <0): #

Mai mult, pentru ca partea a treia să fie cea mai mică, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

sau # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # sau # a-b <sqrt2b # sau #a <b (1 + sqrt2) #

Combinând toate aceste restricții, putem deduce că pentru ca a treia parte să fie cea mai scurtă, trebuie să avem # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb și (a, b <0 sau a, b> 0)