Să spunem K și L sunt două spații vectoriale diferite de spațiu subspațiu V. Dacă este dată dim (K) = dim (L) = 4, cum se determină dimensiunile minime sunt posibile pentru V?

Răspuns:

5

Explicaţie:

Lăsați cele patru vectori # K_1, k_2, k_3 # și # # K_4 formează o bază a spațiului vectorial # K #. De cand # K # este un subspațiu al # V #, acești patru vectori formează un set liniar independent în # V #. De cand # L # este un subspațiu al # V # diferit de # K #, trebuie să existe cel puțin un element, să zicem # # L_1 în # L #, care nu se află în # K #, adică care nu este o combinație liniară de # K_1, k_2, k_3 # și # # K_4.

Deci, setul # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # este un set liniar independent de vectori din # V #. Astfel dimensionalitatea # V # este cel puțin 5!

De fapt, este posibil pentru intervalul de timp # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # a fi întregul spațiu vectorial # V # - astfel încât numărul minim de vectori de bază să fie 5.

Ca un exemplu, să lăsați # V # fi # RR ^ 5 # si lasa # K # și # V # constă din vectori ai formularelor

# ((alfa), (beta), (gamma), (delta), (0)) # și # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Este ușor de văzut că vectorii

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#și #((0),(0),(0),(0),(0))#

formează o bază # K #. Adăugați vectorul #((0),(0),(0),(0),(0))#, și veți obține o bază pentru întreg spațiul vectorial,