Ce este (3 + i) ^ (1/3) egal într-o formă + bi?

Răspuns:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + rădăcină (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)

Explicaţie:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # Unde #alpha = arctan (1/3) #

Asa de

#root (3) (3 + i) = rădăcină (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alfa /

# = rădăcină (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3)

# = rădăcină (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + rădăcină (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)

De cand # 3 + i # este în Q1, această rădăcină principală de cub # 3 + i # este, de asemenea, în primul trimestru.

Celelalte două rădăcini de cuburi # 3 + i # se pot exprima folosind rădăcina primitivă a cubului complex al unității #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (1/3 arctan (1/3)) + rădăcină (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i)

# (3) + rădăcină (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# Omega 2 (rădăcină (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + rădăcină (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)

# (3) + rădăcină (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #