Care sunt extrema absolută a lui f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x în [0, pi / 4]?

Răspuns:

valoarea maximă maximă: # (pi / 4, pi / 4) #

min absolut: #(0, 0)#

Explicaţie:

Dat: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x în 0, pi / 4 #

Găsiți două derivate folosind regula de produs de două ori.

Regula de produs: # (uv) '= uv' + v u '#

Lăsa #u = 2x; "" u "= 2 #

Lăsa #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v "= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Pentru a doua jumătate a ecuației:

Lăsa #u = x; "" u "= 1 #

Lăsa #v = cos (2x); "v" = (- păcat (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x)

Simplifica:

(2x sin (2x)) + cos (2x) #f '(x) = anulați (2x sin (2x)

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Identitatea Pitagoriană # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Aceasta înseamnă că nu există valori critice când #f '(x) = 0 #

Absolut maxim și minime ar fi găsit la punctele finale ale intervalului de funcții.

Obiective finale de testare a funcției:

# f (0) = 0; "Minimul absolut:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi /

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi /

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

# f (pi / 4) = pi / 4; "Maximul absolut:" (pi / 4, pi / 4) #