Răspuns:
Curba intersecției poate fi parametrizată ca # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Explicaţie:
Nu sunt sigur ce vrei să spui prin funcția vectorială. Dar înțeleg că încercați să reprezentați curba intersecției dintre cele două suprafețe în declarația de întrebare.
Deoarece cilindrul este simetric în jurul valorii # Z # axa, poate fi mai ușor să se exprime curba în coordonate cilindrice.
Schimbați coordonatele cilindrice:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# R # este distanța de la # Z # axa și # Theta # este unghiul contrar acelor de ceasornic față de #X# axa în #X y# avion.
Apoi, prima suprafață devine
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 ^ theta + r ^ 2sin ^ 2 ^ theta = 81 #
# R ^ 2 = 81 #
# R = 9 #, din cauza identității trigonometrice pitagoreene.
A doua suprafață devine
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Am aflat din ecuația primei suprafețe că curba intersectată trebuie să fie la o distanță de pătrat # R ^ 2 = 81 # de la prima suprafață, dând asta
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, o curbă parametrizată de # Theta #. Ultimul pas este identitatea trigonometrică și se face doar din preferințele personale.
Din această expresie vedem că curba este într-adevăr o curbă, deoarece are un grad de libertate.
Toate, în ansamblu, putem scrie curba ca
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, care este o funcție de valoare vectorială a unei singure variabile # Theta #.
Răspuns:
Vezi mai jos.
Explicaţie:
Având în vedere intersecția dintre
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (în RR): #
cu
# C_2-> z = x y #
sau # C_1 nn C_2 #
noi avem
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2)
acum rezolvând pentru # X ^ 2, y ^ 2 # obținem curbele parametrice
(y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z) 2) ^ 2))):} # sau
(y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), -4 z ^ 2)))):
care sunt reale pentru
(r / 2) ^ 2 # r ^
Atașat un grafic care prezintă curba intersecției în roșu (o singură frunză).
