Întrebarea # dbd28

Răspuns:

Definiți distanța dintre grafic și punct ca o funcție și găsiți minimul.

Ideea este #(3.5,1.871)#

Explicaţie:

Pentru a ști cât de aproape sunt, trebuie să știți distanța. Distanța Euclidiană este:

#sqrt (^ 2 + Ax Dy ^ 2) #

unde Δx și Δy sunt diferențele dintre cele două puncte. Pentru a fi cel mai apropiat punct, acest punct trebuie să aibă distanța minimă. Prin urmare, am stabilit:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Acum trebuie să găsim minimul acestei funcții:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Numitorul este întotdeauna pozitiv ca funcție rădăcină pătrată. Numerotatorul este pozitiv atunci când:

# 2x-7> 0 #

#X> 7/2 #

#X> 3.5 #

Funcția este pozitivă când #X> 3.5 #. În mod similar, se poate dovedi că este negativă când #X <3.5 # Prin urmare, există funcție #f (x) # are un minim la # X = 3,5 #, ceea ce înseamnă că distanța este cel puțin la # X = 3,5 # Coordonata Y din # Y = x ^ (1/2) # este:

# Y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1,871 #

În cele din urmă, punctul în care se observă cea mai mică distanță de la (4,0) este:

#(3.5,1.871)#