Întrebarea nr. 27939

Răspuns:

Așa cum a subliniat Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # NU este zero. (Am neglijat să verific asta). Celelalte zerouri sunt # 1-sqrt3 i # și #1#.

Explicaţie:

Deoarece toti coeficientii sunt numere reale, orice perechi imaginare trebuie sa apara in perechi conjugate.

Prin urmare, # 1-sqrt3 i # este zero.

Dacă # C # este zero atunci # Z-c # este un factor, așa că am putea multiplica

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3i)) # a obține # Z ^ 2-2z + 4 #

și apoi împărțiți #P (z) # de acel quadratic.

Dar este mai rapid să luăm în considerare posibila valoare zero rațională pentru # P # primul. Sau adăugați coeficienții pentru a vedea asta #1# este, de asemenea, zero.

Răspuns:

#1# și # 1 - sqrt3 i #

Explicaţie:

Există o eroare în întrebarea dvs. Rădăcina ar trebui să fie # 1 + sqrt3 i #. Puteți verifica acest lucru punând valoarea în expresie. Dacă este o rădăcină, expresia trebuie evaluată la zero.

Expresia are toți coeficienții reali, deci prin teorema complexă a conjugatelor rădăcinilor (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), avem că cealaltă rădăcină complexă este # 1 - sqrt3 i #, În mod evident, a treia rădăcină (de exemplu #A#) trebuie să fie reală, deoarece nu poate avea un conjugat complex; altfel vor exista 4 rădăcini, ceea ce nu este posibil pentru o ecuație de gradul 3.

Notă

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

= ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3i) ^ 2) # (De cand # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Vom încerca să obținem acest factor în expresie.

Putem scrie:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

= z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

= (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Răspuns:

Ca intro, cred că ar trebui să fie rădăcina #color (albastru) (1 + sqrt3) # si nu #color (roșu) (- 1 + sqrt3) #

Pe această bază răspunsul meu este:

# z în {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Explicaţie:

Folosind ideea de complexe conjugate și alții trucuri grozave.

#P (z) # este un polinom de grad #3#. Aceasta înseamnă că ar trebui să aibă doar #3# rădăcini.

Un fapt interesant despre rădăcinile complexe este că nu se întâmplă niciodată singuri conjugate.

Astfel, dacă # 1 + # isqrt3 este o rădăcină, apoi conjugatul său: # 1-isqrt3 # cu siguranță este și rădăcină!

Și din moment ce mai rămâne o rădăcină, putem numi această rădăcină # Z = o #.

Nu este un număr complex, deoarece rădăcinile complexe apar întotdeauna în perechi.

Și din moment ce acesta este ultimul din #3# rădăcini, nu poate exista nici o altă pereche după prima!

În final, factorii #P (z) # au fost ușor de găsit "z- (1-isqrt3)" și "(z-a) #"

NB: Rețineți că diferența dintre o rădăcină și un factor este aceea că:

- O rădăcină ar putea fi # Z = 1 + i #

Dar factorul corespunzător ar fi # Z- (1 + i) #

Al doilea truc este faptul că, prin factoring #P (z) # ar trebui să obținem ceva de genul:

# Z (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a)

Apoi, extindeți brațele, (1-isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) # (z)

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a)

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Apoi, noi echivalăm acest lucru cu polinomul original #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6Z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6Z-4 #

Deoarece cele două polinoame sunt identice, echivalăm coeficienții de # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #și # Z ^ 0 #(termenul constant) pe ambele părți,

De fapt, trebuie doar să alegem o ecuație și să o rezolvăm #A#

Echocând termenii constanți, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

De aici este și ultima rădăcină #color (albastru) (z = 1) #