Ce este un grup abelian, dintr-o perspectivă algebrică liniară / abstractă?

Răspuns:

Un grup abelian este un grup cu proprietatea suplimentară a operațiunii de grup care este comutativă.

Explicaţie:

A grup # <G, •> # este un set # G # împreună cu o operație binară # •: GxxG-> G # care îndeplinesc următoarele condiții:

1. # G # este închis sub #•#.

   Pentru orice # O, bing #, noi avem # a • b în G #

2. #•# este asociativ.

   Pentru orice # A, b, parte- #, noi avem # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # conține un element de identitate

   Exista # # Eing astfel încât pentru toți # # AinG, # O • e = e • o = o #

4. Fiecare element al lui # G # are un invers în # G #

   Pentru toți # # AinG exista ^ #A (- 1) # Ing. astfel încât # O • o ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Se spune că este un grup abeliene dacă are și proprietatea asta #•# este comutativ, adică pentru toți # O, bing #, noi avem # a • b = b • a #.

Grupul # <ZZ, +> # (numerele întregi cu adăugare standard) este un grup abelian, deoarece îndeplinește toate cele cinci condiții anterioare.

Grupul # (RR) # GL_2 (setul de inversibil # 2 "x" 2 # matricele cu elemente reale împreună cu înmulțirea matricei) este non-abeliană, deoarece în timp ce îndeplinește primele patru condiții, multiplicarea matricelor între matricile inversibile nu este neapărat comutativă. De exemplu:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

dar

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#