În clasă există 7 copii. În câte moduri pot să se alinieze pentru o vacanță?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Această problemă particulară este a permutare. Reamintim că diferența dintre permutări și combinații este aceea că, cu permutări, ordinea contează. Având în vedere faptul că întrebarea întreabă câte moduri de învățare a studenților se poate face pentru nișă (adică câte comenzi diferite), aceasta este o permutare.

Imaginați-vă pentru moment că am ocupat doar două poziții, poziția 1 și poziția 2. Pentru a face diferența între studenții noștri, deoarece ordinea contează, vom aloca fiecare o literă de la A la G. Acum, dacă vom completa aceste poziții la un moment dat, avem șapte opțiuni pentru a umple prima poziție: A, B, C, D, E, F și G. Totuși, odată ce această poziție este ocupată, avem doar șase opțiuni pentru al doilea, deoarece unul dintre elevii au fost deja poziționați.

De exemplu, presupunem că A este în poziția 1. Apoi ordinele noastre posibile pentru cele două poziții sunt AB (adică A în poziția 1 și B în poziția 2), AC, AD, AE, AF, AG. Totuși … acest lucru nu ia în considerare toate ordinele posibile aici, deoarece există 7 opțiuni pentru prima poziție. Astfel, dacă B ar fi în poziția 1, vom avea ca posibilități BA, BC, BD, BE, BF și BG. Astfel, ne multiplicăm numărul de opțiuni împreună: #7*6 = 42#

Privind înapoi la problema inițială, există 7 elevi care pot fi plasați în poziția 1 (din nou, presupunând că vom ocupa pozițiile de la 1 la 7 în ordine). Odată ce poziția 1 este umplută, 6 elevi pot fi plasați în poziția 2. Cu pozițiile 1 și 2 umplut, 5 poate fi plasat în poziția 3, și așa mai departe, până când un singur student poate fi plasat în ultima poziție. Astfel, prin multiplicarea numărului de opțiuni împreună, ajungem #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Pentru o formulă mai generală pentru a găsi numărul de permutări ale lui # N # obiecte luate # R # la un moment dat, fără înlocuire (adică, studentul din poziția 1 nu se întoarce în zona de așteptare și devine o opțiune pentru poziția 2), avem tendința de a folosi formula:

Număr de permutări = # "N!" / "(N-r)!" #.

cu # N # numărul de obiecte, # R # - numărul de posturi care trebuie ocupate și #!# simbolul pentru factorial, o operație care acționează asupra unui întreg non-negativ #A# astfel încât #A!# = #atimes (a-1) ori (a-2), ori (a-3), ori … ori (1) #

Astfel, folosind formula noastră cu problema inițială, unde avem 7 elevi luați 7 la un moment dat (de ex., Dorim să umplem 7 posturi), avem

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Ar putea părea contrar intuitiv #0! = 1#; totuși, acest lucru este adevărat.