Cum de a rezolva 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Răspuns:

Putem rezolva această problemă grafic.

Explicaţie:

Ecuația dată # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # poate fi re-scris ca

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Acum luați aceste două funcții separate

#f (x) = 2e ^ (x) # și #g (x) = 7-2x # și întocmește graficul; al lor punct de intersecție va fi soluţie la ecuația dată # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Acest lucru este prezentat mai jos:

Răspuns:

Aceasta este o algebră dincolo de liceu și cel mai bun mod de a rezolva aceasta este să-l rogi lui Wolfram Alpha care răspunde #x aprox.94 #.

Explicaţie:

Rezolva

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Întrebările de genul ăsta sunt, în general, grele, iar răspunsul depinde dacă sunteți în Algebra în liceu sau mai adânc în matematică.

Pentru liceu, cea mai bună abordare este să încercați doar câteva numere mici și să vedeți dacă funcționează. (Acest lucru funcționează pentru multe, multe probleme de matematică, fyi.) Există într-adevăr un singur rațional #X# asta face # E ^ x # raţional, # X = 0 #, care nu este o soluție. Ghicitul nu va funcționa aici.

Dacă o aproximare este suficient de bună, putem să o reprezentăm grafic sau grafic # 2e ^ x # și # # 7-2x și vezi unde se întâlnesc.

Indiferent de nivelul dvs., când vă confruntați cu unul greu de genul acesta, este de obicei o mișcare bună să întrebați pe expertul disponibil, care este Wolfram Alpha.

Vedem că Alpha ne-a dat un răspuns aproximativ, destul de aproape de 1, și chiar o formulă care folosește W (x), pe care Lambert Product Log, care de obicei nu face parte din matematica liceului.

Nu există niciun răspuns folosind funcțiile și operațiile obișnuite pe care le cunoaștem în algebra liceului. Asta este în general adevărat când adăugăm un termen #X# într-un exponent la unul în care #X# apare ca o putere liniară sau mai mare.

Acesta este sfârșitul răspunsului pentru majoritatea studenților. Dar putem merge mai adânc. Jurnalul de produse este o funcție interesantă.Luați în considerare ecuația

#k = xe ^ x #

În partea dreaptă este o funcție în creștere #X#, așa că va trece # # K mai devreme sau mai târziu. Luarea jurnalului nu ne duce nicăieri: #in k = ln x + x #.

Avem nevoie de ceva de genul un jurnal, dar nu de unul care este invers # E ^ x #. Trebuie să fie inversul lui # Xe ^ x #. Se numește Jurnalul de produse sau funcția Lambert W, definită ca:

#k = xe ^ x # are o soluție reală # x = W (k) #.

Ne vom limita atenția asupra realelor. Este distractiv să încerci să descoperi # # W 's proprietăți. Cel fundamental ne este dat

#W (xe ^ x) = x #

Să lăsăm # X = y ^ voi # în cele ce urmează #W (x) = y #. Acum

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Asta e tare. Ce zici

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)

Luând busteni, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # presupunând că sunt definite jurnalele

Acum, când vedeți cum funcționează cu W, vedeți dacă îl puteți folosi pentru a rezolva ecuația sau pentru a verifica soluția Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #