# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # este de formă # Y ^ 2-2y + 1 # Unde #y = x ^ 3 #.
Această formulă patratică în # Y # factori, după cum urmează:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y-1) ^ 2 #
Asa de # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3-1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Asa de (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1)
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # nu are factori liniari cu coeficienți reali. Pentru a verifica acest anunț, acesta este al formularului # ax ^ 2 + bx + c #, care are discriminatoriu:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Fiind negativ, ecuația # x ^ 2 + x + 1 = 0 # nu are rădăcini reale.
O modalitate de a verifica răspunsul este de a înlocui o valoare pentru #X# care nu este o rădăcină în ambele părți și să vedem dacă obținem același rezultat:
Încerca # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Comparaţie:
2 (x2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Ei bine, a lucrat!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # este destul de ușor de factorat, deoarece este un patrat perfect. De unde știu asta? E un trinomial în formă # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, iar toate trinomialurile în această formă sunt pătrate perfecte.
Acest trinomial este pătratul perfect al lui # (x ^ 3-1) #. Pentru a-mi verifica munca, voi lucra înapoi:
# (x ^ 3-1) (x ^ 3-1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Deci, acest trinomial are factori de #1#, # x ^ 3 - 1 #, și # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Cu toate acestea, așa cum mi sa arătat, # (x ^ 3-1) # are și factori. Deoarece este un binomial al formei # a ^ 3 - b ^ 3 #, poate fi scris și ca # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Asa de, # (x ^ 3-1) # factori în # (x - 1) # și # (x ^ 2 + x + 1) #, care sunt ambele prime.
Factorii # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # sunteți:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Mai exact, factorizarea PRIME din # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # este:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
