Răspuns:
Începe cu
# 1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Să înlocuim secantul cu un cosinus.
# 1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xxy) #
Acum luăm derivatul wrt x pe ambele părți!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xxy)
Derivatul unei constante este zero și derivatul este liniar!
= D / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y)
Acum, folosind regulă de produs, doar primii doi termeni obținem!
# D = dx (d) (d ^ dx (d ^ dx) y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Liniile următoare și o mulțime de Distracție cu regula lanțului! Urmăriți ultimul termen!
(facând și derivatele simple x)
(D / dy y2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (x)) ^ (- 1) * d / {dxy} cos
Făcând unele dintre acele derivate y, derivații xy și derivații cos (xy), de asemenea, facem regulă de produs și regulă de lanț încă o dată în ultima parte a ultimului termen.
################################################################################################################################
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y x dy / dy dy /
Neatenți un pic și terminați toate derivatele
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy /
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx)
Acum separați în termen cu # Dx / dy # și fără
(X) / cos ^ 2 (xy) + #
# Xxy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy)
Aduceți totul fără # Dy / dx # la o parte și colecție ca termeni pe de altă parte
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xxy)
Împărțiți-vă că ați găsit # Dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xxy) - y2-2xy} / (X y) } #
A fost foarte lung!
Explicaţie:
Am avut o explicație foarte lungă, cu un exemplu simplu, deoarece diferențierea implicită poate fi dificilă, iar regula lanțului este foarte foarte importantă.
Trebuie să utilizați aproximativ trei reguli de calcul BIG pentru a rezolva această problemă și trei derivate specifice de funcții.
1) Linearitatea derivatului.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx
2) regula produsului.
= d (d) (f) (x) x (x) = x (x)
3) De departe, cel mai important concept în diferențierea implicită este
regula lanțului. Pentru funcțiile complexe, funcțiile altor funcții, #f (u (x)) # noi avem, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x).
Puteți continua cu asta
# d / dx (f (u (y)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy}, și mai departe și mai departe. Notă # Dx / dx = 1 #.
Exemplu: dacă aveți o funcție a unei funcții #f (u) # Unde # U # este o distracție #X#. și anume #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Aici #f (u) = sqrt (u) # și #U (x) = 1-x ^ 2 #.
(d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # rechemare # U = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^
Expresii pentru tipuri de funcții specifice.
A) Cum să luați derivatul funcțiilor de alimentare, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^
B) Cum să luați derivatul din # E ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- plictisitor eh?
C) Cum să luați derivatul din # cos (x) # deoarece # sec (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Cheia diferențierii implicite este folosirea regulii lanțului pentru a lua derivatul wrt x și funcția ambelor x și y, ca un cerc.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2)
# 0 = 2 x + d / y y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
