Arătați că int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Răspuns:

Vezi explicația

Explicaţie:

Vrem să arătăm

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Acesta este un integru destul de "urât", deci abordarea noastră nu va fi de a rezolva acest integral, ci de ao compara cu un "mai frumos" integral

Acum, asta pentru toate numerele reale pozitive #color (roșu) (sin (x) <= x) #

Astfel, valoarea integrand va fi, de asemenea, mai mare, pentru toate numerele reale pozitive, dacă le înlocuim # X = sin (x) #, așa că dacă putem arăta

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Apoi prima noastră afirmație trebuie să fie, de asemenea, adevărată

Integralul nou este o problemă simplă de substituire

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Ultimul pas este acela de a observa asta #sin (x) = x => x = 0 #

Prin urmare, putem concluziona

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #