Răspuns:
Restul de împărțire #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # de # (X-k) # este #f (k) #, deci rezolva #f (k) = 9 # folosind teorema rădăcină rațională și factoring pentru a găsi:
#k = 1/2, -2 # sau #-3#
Explicaţie:
Dacă încercați să împărțiți #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # de # x-k # vei termina cu restul #f (k) #…
Deci, dacă restul este #9#, încercăm în principiu să rezolvăm #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Scădea #9# de ambele părți pentru a obține:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Prin teorema rădăcinii raționale, orice rădăcină rațională a acestui cubic va avea forma # P / q # în cele mai mici condiții, unde #p, q în ZZ #, #q! = 0 #, # P # un divizor al termenului constant #-6# și # Q # un divizor al coeficientului #2# a termenului de conducere.
Aceasta înseamnă că posibilele rădăcini raționale sunt:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Să încercăm prima:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24)
asa de #k = 1/2 # este o rădăcină și # (-2k 1) # este un factor.
Împarte la # (-2k 1) # a găsi:
(2k-1) (k 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) # 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 =
Astfel, soluțiile posibile sunt:
#k = 1/2 #, #k = -2 # și #k = -3 #
