Vă rog să explicați, aceasta este o transformare liniară sau nu?

Răspuns:

Vezi mai jos

Explicaţie:

O transformare #T: V to W # se consideră a fi liniară dacă are următoarele două proprietăți:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # pentru fiecare # v_1, v_2 în V #
• #T (cv) = cT (v) # pentru fiecare #v în V # și fiecare scalar # C #

Rețineți că cea de-a doua proprietate presupune acest lucru # V # este încorporat cu două operații de multiplicare sumă și scalară. În cazul nostru, suma este suma dintre polinoame, iar multiplicarea este multiplicarea cu numere reale (presupun).

Când obțineți un polinom, vă micșorați gradul prin #1#, deci dacă obțineți un polinom de grad #4# de două ori, veți obține un polinom de grad #2#. Rețineți că, atunci când vorbim despre setul de toate cele patru grade polyinomial, ne referim de fapt la setul de toate polinoamele de grad cel mult patru. De fapt, un grad generic de patru polinoame este

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Dacă vrei polinomul de gradul doi # 3 + 6x-5x ^ 2 #, de exemplu, pur și simplu alegeți

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Cu această afirmație, să identificăm spațiul polinomial al gradului # N # cu # # P_n, și să definească operatorul nostru #T: P_4 la P_2 # astfel încât #T (f (x)) = f '' (x) #

Să presupunem prima proprietate: presupunem că avem polinoamele

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

și

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Aceasta înseamnă că # P_1 + p_2 # este egală

# (A_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + B_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # este al doilea derivat al acestui polinom, așa este

# 2 (a_2 + B_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Am aplicat de două ori regula de putere pentru derivare: al doilea derivat din # X ^ n # este #N (n-1) x ^ {n-2} #)

Acum să calculam #T (p_1) #, adică al doilea derivat al lui # # P_1:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

În mod similar, #T (p_2) #, adică al doilea derivat al lui # # P_2, este

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Dacă rezumați aceste expresii, puteți vedea că avem

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

A doua proprietate este prezentată într-un mod similar: dat un polinom

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

avem, pentru orice număr real # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

al doilea derivat este astfel

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

care din nou este la fel ca și calculul #T (p) #, apoi multiplicați totul prin # C #, adică #T (cp) = cT (p) #