Ce este infinitul? + Exemplu

Răspuns:

Acest lucru nu poate fi răspuns fără context. Iată câteva dintre utilizările din matematică.

Explicaţie:

Un set are o cardinalitate infinită dacă poate fi cartografiat unu-la-unu pe un subset propriu. Aceasta nu este folosirea infinității în calcul.

În Calcul, folosim "infinit" în 3 moduri.

Interval de notație:

Simbolurile # Oo # (respectiv # # -OO) sunt folosite pentru a indica faptul că un interval nu are un punct final (respectiv stânga).

Intervalul # (2, oo) # este aceeași cu setul #X#

Limite infinite

Dacă o limită nu există, deoarece #X# abordari #A#, valorile lui #f (x) # crește fără obligații, apoi scriem #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Rețineți că: expresia "fără limită" este semnificativă. Nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # sunt în creștere, dar limitate mai sus. (Nu ajung niciodată să treacă #1#.)

Limite la Infinit

Expresia "limita la infinit" este folosită pentru a indica faptul că am întrebat ce se întâmplă #f (x) # la fel de #X# crește fără obligații.

Exemplele includ

Limita ca #X# crește fără limită # X ^ 2 # nu există deoarece, ca #X# crește fără obligații, # X ^ 2 # crește, de asemenea, fără obligații.

Acest lucru este scris #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # și am citit-o adesea

"Limita ca #X# merge la infinit, de # X ^ 2 # este infinitul"

Limita #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # indică faptul că, la fel de #X# crește fără obligații, # 1 / x # abordari #0#.

Răspuns:

Depinde de context …

Explicaţie:

#bb + - # Infinit și limite

Luați în considerare setul de numere reale # RR #, adesea imaginat ca o linie cu numere negative în stânga și numere pozitive în dreapta. Putem adăuga două puncte numite # + Oo # și # # -OO care nu funcționează deloc ca numere, dar au următoarea proprietate:

#AA x în RR, -oo <x <+ oo #

Atunci putem scrie #lim_ (x -> + oo) # înseamnă limita ca #X# devine din ce în ce mai pozitiv fără limită superioară și #lim_ (x -> - oo) # înseamnă limita ca #X# devine din ce în ce mai negativ fără limită inferioară.

De asemenea, putem scrie expresii precum:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… ceea ce înseamnă că valoarea # 1 / x # crește sau descrește fără a fi legat ca #X# abordari #0# de la "dreapta" sau "stânga".

Deci, în aceste contexte # + - oo # sunt într-adevăr o stenogramă de exprimare a condițiilor sau a rezultatelor proceselor de limitare.

Infinit ca o completare a # RR # sau # CC #

Linia proiectivă # # RR_oo și sfera Riemann # # CC_oo sunt formate prin adăugarea unui singur punct numit # Oo # la # RR # sau # CC # - "punctul la infinit".

Putem apoi extinde definiția funcțiilor de genul #f (z) = (az + b) / (cz + d) # să fie continuă și bine definită în ansamblul său # # RR_oo sau # # CC_oo. Aceste transformări Möbius funcționează deosebit de bine #Gânguri#, în cazul în care cercetează cercurile în cercuri.

Infinitatea în teoria seturilor

Dimensiunea (Cardinalitatea) setului de numere întregi este infinită, cunoscută sub numele de infinit numărare. Georg Cantor a constatat că numărul de numere reale este strict mai mare decât această infinitate numărare. În teoria seturilor există o multitudine de infinități de mărimi în creștere.

Infinitul ca număr

Putem trata de fapt infinitățile ca numere? Da, dar lucrurile nu funcționează așa cum vă așteptați tot timpul. De exemplu, am putea spune fericit # 1 / oo = 0 # și # 1/0 = oo #, dar care este valoarea lui # 0 * oo? #

Există sisteme numerice care includ infinități și numere infinite (infinit de mici). Acestea oferă o imagine intuitivă a rezultatelor proceselor limită, cum ar fi diferențierea și pot fi tratate riguros, dar există destul de puține capcane pentru a evita.