Rădăcinile {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 ale x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 sunt astfel încât fiecare x_i = 1. Cum se dovedește că, dacă b ^ 2-a ^ 2 = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5? În caz contrar, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

Răspuns:

În schimb, răspunsul este # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + 1)} # și ecuațiile corespunzătoare sunt # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 și x ^ 6 + -1 = 0. #.

Explicaţie:

Răspunsul bun de la Cesereo R mi-a permis să modific

versiunea mea anterioară, pentru a-mi răspunde bine.

Forma # x = r e ^ (i theta) # ar putea reprezenta atât real, cât și complex

rădăcini. În cazul rădăcinilor reale x, r = | x |., Agreed! Să continuăm.

În această formă, cu r = 1, ecuația se împarte în două ecuații, #cos 6theta + un cos 3theta + b = 0 # …(1)

și

# sin 6 theta + un păcat 3 theta = 0 #… (2)

Pentru a fi la îndemână, alegeți mai întâi (3) și folosiți #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Dă

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, cu soluții

#sin 3theta = 0 la theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

și

# cos 3theta = -a / 2 la theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, cu k ca înainte. … (4)

Aici, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 la a în -2, 2 # … (5)

(3) reduce (1) la

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Utilizarea #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) reduce (1) la

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 până la b = 1 #… (7)

Acum, din (6), # a = + -2 #

Deci, valorile (a, b) sunt (+ -2, 1)..

Ecuațiile corespunzătoare sunt # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 și (x ^ 6 + 1) = 0 #

Totuși, acest lucru nu se compară cu setul de valori al lui Cesareo pentru (a,). Cred că trebuie să revizuiesc răspunsul meu din nou, luând în considerare (4) și (6) împreună, la setarea a = 0, b = 1. Ușor de verificat acest lucru # (a, b) = (0, -1) #este o soluție și ecuația corespunzătoare este # X ^ 6-1 = 0 #, cu două rădăcini reale #+-1#. Aici, # 6 theta = (4k-1) pi și cos 6theta = -1 #, și astfel, (6) devine b = 1, când a = 0 de asemenea. Ești 100% corect, Cesareo. Mulțumesc.

Răspunsul complet complet este cel introdus în caseta de răspuns.

Notă: Aceasta este o altă propunere. Cu toate acestea, mi-aș aminti și am făcut o declarație cu privire la modul în care am stabilit cât mai curând posibil inegalitățile din această problemă.

Din păcate, scribblingul meu în această privință se dusese în coșul de gunoi. Dacă răspunsul este corect, dar nu și așa, eu #regret# Pentru același. Trebuie să schimb întrebarea pentru acest răspuns. Cred că rapid, dar nu tastați, în sincronizare cu gândirea. Bug-urile se încadrează cu ușurință în gândurile mele.

Mă aștept ca neurologii să susțină explicația mea, pentru introducerea de bug-uri în munca noastră grea.

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Presupunând că # {a, b} în RR # avem asta #b = pm1 #

deoarece #b = Pix_i #. Acum, făcând #y = x ^ 3 # noi avem

# Y ^ 2 + aypm1 = 0 # și rezolvarea problemelor # Y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # dar

# Absy = abs (- (un pmsqrt / 2) ((a / 2) ^ 2- (PM1))) = 1 #

Rezolvarea pentru #A# noi avem # A = {0, -2,2} #

Ecuația # X ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # este echivalentă cu una dintre posibilități

# X ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

cu

# A_0 = {- 2,0,2} #

# B_0 = {- 1,1} #